Опрос

Какой архиватор наиболее эффективный?:

Новички

Виктор Васильев
Юрий Антонов
Сергей Андреевич
Генадий
Avanasy

Преобразование Хаара

Преобразование Хаара использует функцию шкалы (f>(t) и вейвлет ?/>(£), которые показаны на рис 4.14а, для представления широкого класса функций. Это представление имеет вид бесконечной суммы где Ck и dj4k ~ коэффициенты, которые необходимо определить. Базисная функция шкалы ф(Ь) является единичным импульсом.

Функция (j)(t к) является копией функции </>(£), сдвинутой вправо на число к. Аналогично, функция ф{2Ь — к) получается из функции ф{Ь — к) сжатием аргумента в два раза (это еще можно назвать уменьшением масштаба). Сдвинутые функции используются для аппроксимации функции f(t) при различных моментах времени, а функции с разными масштабами нужны для аппроксимации функции f(t) при более высоком разрешении. На рис. 4.14Ь приведены графики функций ф(2Н к) при j = 0,1,2,3 и при к = 0,1,..., 7. Базисный вейвлет Хаара ф^) является ступенчатой функцией. Из этого определения мы заключаем, что общий вейвлет ф(2Н к) получается из ф(Ь) сдвигом вправо на к единиц и сменой масштаба в 2J раз. Четыре вейвлета ф(221 — к) при к = 0,1,2 и 3 показаны на рис. 4.14с.

Обе функции ф(2Н — к) и ф(2Н — к) не равны нулю на интервале ширины 1/2-7. Этот интервал называется носителем этих функций. Поскольку длина этого интервала стремится к нулю, когда j стремится к бесконечности, мы будем говорить, что функции имеют компактный носитель.

Легко видеть, что f(t) = 4(/>(£) + il>(t). Мы скажем, что исходные ступени (5,3) были преобразованы в представление, имеющее среднее (низкое разрешение) 4 единицы и детали (высокое разрешение) 1 единица. Если воспользоваться матричным представлением, то это можно записать как (5,3)Аг = (4,1), где А2 - матрица преобразования Хаара порядка 2 (см. уравнение (3.16)).

Рис. 4.14. Базисная шкала Хаара и вейвлетные функции.