Во введении уже отмечалось, что методы сжатия, основанные на свойствах вейвлетов, используют довольно глубокие математические результаты. Это обстоятельство бросает определенный вызов как автору, так и читателю. Целью этой главы является представление основ теории вейвлетных преобразований (с минимумом дополнительных математических сведений) и ее приложений к задачам сжатия данных. Глава начинается с изложения последовательности шагов, состоящих из вычисления средних (полусумм) и полуразностей, которые преобразовывают одномерный массив исходных данных к виду, удобному для сжатия. Затем этот метод обобщается на двумерные массивы данных, что позволяет применять эти результаты к сжатию оцифрованных изображений. Рассмотренная последовательность трансформаций массива данных является простейшим примером под диапазонного преобразования. Будет показано, что она идентична преобразованию Хаара, определенному в § 3.5.7.

В § 4.2.1 устанавливается связь преобразования Хаара с умножением матриц. Это проложит путь к введению в § 4.4 понятия банка фильтров. В § 4.3 излагаются некоторые дополнительные математические результаты, знакомство с которыми можно опустить при первом чтении. В этом параграфе обсуждается операция дискретной свертки и ее применение к под диапазонным преобразованиям. За этим материалом следует § 4.6, в котором излагается дискретное вейвлетное преобразование (DWT, descrete wavelet transform). Глава заканчивается описанием метода сжатия SPIHT, основанного на вейвлетном преобразовании.

Перед тем как углубиться в различные детали следует ответить на часто задаваемый вопрос: «А почему здесь используется именно термин «вейвлет» (wavelet - это слово можно перевести как «маленькая волна» или «всплеск»)?» Эта глава не содержит полного ответа на этот вопрос, но рис. 4.14 и 4.34 дают некоторое интуитивное объяснение.