Опрос

Какой архиватор наиболее эффективный?:

Новички

Виктор Васильев
Юрий Антонов
Сергей Андреевич
Генадий
Avanasy

Коды без памяти

Простейшими кодами, на основе которых может выполняться сжатие данных, являются коды без памяти. В коде без памяти каждый символ в кодируемом векторе данных заменяется кодовым словом из префиксного множества двоичных последовательностей или слов.

Префиксным множеством двоичных последовательностей S называется конечное множество двоичных последовательностей, таких, что ни одна последовательность в этом множестве не является префиксом, или началом, никакой другой последовательности в S.

К примеру, множество двоичных слов S1 = {00, 01, 100, 110, 1010, 1011} является префиксным множеством двоичных последовательностей, поскольку, если проверить любую из 30 возможных совместных комбинаций ( wi wj ) из S1, то видно, что wi никогда не явится префиксом (или началом) wj . С другой стороны, множество S2 = { 00, 001, 1110 } не является префиксным множеством двоичных последовательностей, так как последовательность 00 является префиксом (началом) другой последовательности из этого множества - 001.

Таким образом, если необходимо закодировать некоторый вектор данных X = ( x 1 , x 2 ,… xn ) с алфавитом данных A размера k , то кодирование кодом без памяти осуществляется следующим образом:

-        составляют полный список символов a1, a2, aj ... ,ak алфавита A , в котором aj - j -й по частоте появления в X символ, то есть первым в списке будет стоять наиболее часто встречающийся в алфавите символ, вторым – реже встречающийся и т.д.;

-        каждому символу aj назначают кодовое слово wj из префиксного множества двоичных последовательностей S ;

-        выход кодера получают объединением в одну последовательность всех полученных двоичных слов.

Формирование префиксных множеств и работа с ними – это отдельная серьезная тема из теории множеств, выходящая за рамки нашего курса, но несколько необходимых замечаний все-таки придется сделать.

Если S = { w1, w2, ... , wk } - префиксное множество, то можно определить некоторый вектор v(S) = ( L1, L2, ... , Lk ), состоящий из чисел, являющихся длинами соответствующих префиксных последовательностей ( Li - длина wi ).

Вектор ( L1, L2, ... , Lk ), состоящий из неуменьшающихся положительных целых чисел, называется вектором Крафта. Для него выполняется неравенство

.                               (1)

Это неравенство называется неравенством Крафта. Для него справедливо следующее утверждение:      если S - какое-либо префиксное множество, то v(S) - вектор Крафта.

Иными словами, длины двоичных последовательностей в префиксном множестве удовлетворяют неравенству Крафта.

Если неравенство (1) переходит в строгое равенство, то такой код называется компактным и обладает наименьшей среди кодов с данным алфавитом длиной, то есть является оптимальным.

Ниже приведены примеры простейших префиксных множеств и соответствующие им векторы Крафта:

S1 = {0, 10, 11} и v(S1) = ( 1, 2, 2 );

S2 = {0, 10, 110, 111} и v(S2) = ( 1, 2, 3, 3 );

S3 = {0, 10, 110, 1110, 1111} и v(S3) = ( 1, 2, 3, 4, 4 );

S4 = {0, 10, 1100, 1101, 1110, 1111} и v(S4) = ( 1, 2, 4, 4, 4, 4 );

S5 = {0, 10, 1100, 1101, 1110, 11110, 11111} и v(S5) = ( 1, 2, 4, 4, 4, 5, 5 );

S6 = {0, 10, 1100, 1101, 1110, 11110, 111110, 111111}

и v ( S 6) = (1,2,4,4,4,5,6,6).

Допустим мы хотим разработать код без памяти для сжатия вектора данных X = ( x 1 , x 2 ,… xn ) с алфавитом A размером в k символов. Введем в рассмотрение так называемый вектор частот F = ( F1, F2, ... , Fk ), где Fi - количество появлений i -го наиболее часто встречающегося символа из A в X . Закодируем X кодом без памяти, для которого вектор Крафта L = ( L1, L2, ... , Lk ) .

Тогда длина двоичной кодовой последовательности B(X) на выходе кодера составит

L*F = L1*F1 + L2*F2 + ... + Lk*Fk .                               (2)

Лучшим кодом без памяти был бы код, для которого длина B(X) - минимальна. Для разработки такого кода нам нужно найти вектор Крафта L, для которого произведение L*F было бы минимальным.

Простой перебор возможных вариантов - вообще-то, не самый лучший способ найти такой вектор Крафта, особенно для большого k .

Алгоритм Хаффмана, названный в честь его изобретателя - Дэвида Хаффмана, - дает нам эффективный способ поиска оптимального вектора Крафта L для F, то есть такого L , для которого точечное произведение L*F – минимально. Код, полученный с использованием оптимального L для F, называют кодом Хаффмена.